1級土木施工管理技士 過去問
令和7年度
問5 (土木工学基礎 問5)
問題文
下図の内径Dの管路内を水深D／2で流れる流量Qを求める次の式のうち、適当なものはどれか。
ただし、nは粗度係数、Iは動水勾配を表す。
ただし、nは粗度係数、Iは動水勾配を表す。
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問題
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1級土木施工管理技士試験 令和7年度 問5（土木工学基礎 問5） （訂正依頼・報告はこちら） （新しいタブで開く）
下図の内径Dの管路内を水深D／2で流れる流量Qを求める次の式のうち、適当なものはどれか。
ただし、nは粗度係数、Iは動水勾配を表す。
ただし、nは粗度係数、Iは動水勾配を表す。
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この過去問の解説 （3件）
01
「Q＝(1/n)×(πD²/8)×(D/4)^(2/3)×I^(1/2)」の形になっているものが適切です。
内径Dの円管が水深D/2で流れているとき、流れている断面は半円です。
半円の流積Aと、半円部分の水が触れている長さ（ぬれている周長）から動水半径Rを求めます。
そのAとRを、マニングの式
Q＝(1/n)×A×R^(2/3)×I^(1/2)
に代入したものが、求めるべき流量Qの式です。
計算すると
流積A＝πD²/8
動水半径R＝D/4
となるので、
Q＝(1/n)×(πD²/8)×(D/4)^(2/3)×I^(1/2)
と表している選択肢が適切です。
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02
円管の中を内径Dの半分、つまり水深D／2で流れているケースで、流量Qを求める問題ですね。
枠組みとしてはマニングの式Q＝(1／n)・A・R^(2／3)・I^(1／2)を使います。
肝心なのは、流積A（水が満たしている断面の面積）と、動水半径R（流積をぬれ縁の長さで割ったもの）を、半円というかたちに合わせて拾い直すこと。
内径Dの管が半分まで水で満たされているので、断面の水部分はちょうど半円。
その面積はπ(D／2)²÷2＝πD²／8。
ぬれ縁は管の下半分の弧にあたりπD／2。
動水半径はA／P＝(πD²／8)÷(πD／2)＝D／4。
これらをマニングの式に置き直したものが正解の式です。
動水半径のD／4は手当てできていますが、流積がπD／8と書かれています。
半円の面積はπ(D／2)²÷2＝πD²／8で、Dは2乗になるはず。
ここでは1乗どまりなので、長さ系の量にしかならず、流積として成立しないわけです。
動水半径だけ整っていても、流積がずれているとマニングの式には乗せられません。
流積A＝πD²／8、ぬれ縁P＝πD／2、動水半径R＝A／P＝D／4。
これらをマニングの式Q＝(1／n)・A・R^(2／3)・I^(1／2)に置き換えてやると、Q＝(1／n)・(πD²／8)・(D／4)^(2／3)・I^(1／2)となり、ぴったり収まります。
半円流の典型問題として、開水路や下水管の不完全充満の場面で繰り返し見かける形ですね。
流積はπD／8、動水半径はD／8。
両方とも狙うべき値から外れています。
流積については、半円の面積はπD²／8でDが2乗になるところ、ここでは1乗どまり。
動水半径についても、ぬれ縁を管の全周πDで取ったときの値がD／8ですが、開水路の流れでは水面（管路上面の直径ぶん）は空気と接していてぬれ縁には含めません。
ぬれているのは下半分の弧πD／2だけで、これを使えばR＝D／4におさまります。
ふたつの取り違えが重なってしまっている式というところでしょう。
流積のπD²／8は半円の面積として取れています。
ただ、動水半径のD／8。
ぬれ縁を管の全周πDで計算してしまうとD／8という値が出ますが、実際にぬれているのは管の下半分の弧πD／2だけで、ここを倍にとってしまっているわけです。
水面（管上面の直径）は空気側なのでぬれ縁から外す、という基本に立ち戻ればD／4。
流積が合っていても、もう片方が崩れると流量Qは実態とずれた値しか返してくれません。
半分まで水の入った円管のような開水路状の流れでは、マニングの式の中身を「半円ぶんのA」と「下側の弧だけのP」できちんと取り直すところが問われます。
A＝πD²／8、P＝πD／2、R＝A／P＝D／4。
ここまで導ければ式は半自動で組み上がる形になります。
計算より先に「どこを半分として扱うか」を決めておくと、AもPもまとめて自然に決まる流れになるかと。
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03
この問いは円形管路を流れる流量Qを問うものです。管水路や開水路での流速を求める場合はマニングの公式「v＝(1／n)×R^(2/3)×I^(1/2)」を用います。(n:粗度係数、R:径深、I:動水勾配、※径深は流水断面積Aを、管壁や水路底など水が接している周の長さ（潤辺S）で割った値）
また流量Q(m3)・流速ｖ(m/s)・流積A(m2)の間にはQ=Avの関係が成り立ちます。
これらよりこの問いでは流水断面積Aは円の半分のため、A=D/2×D/2×π×1/2=πD2/8となり、径深R=A/S=(πD2/8)/(πD/2)=D/4となります。
よってQ=Av=(πD2/8)×(1／n)×R^(2/3)×I^(1/2)=(πD2/8)×(1／n)×(D/4)^(2/3)×I^(1/2)=(1／n)×(πD²／8)×(D／4)^(2/3)×I^(1/2)となります。
この解答は不適当です。冒頭の解説で示した式の「(πD²／8)」が「(πD／8)」となってしまっています。流量Q(m3)・流速ｖ(m/s)・流積A(m2)の間にはQ=Avの関係が成り立つことから、面積に該当する２乗の次元を持った値がある必要があります。
この解答は適当です。冒頭の解説と一致します。
この解答は不適当です。冒頭の解説で示した式の「(πD²／8)」が「(πD／8)」となっている点、「(D／4)^(2/3)」が「(D／8)^(2/3)」となってしまっています。(πD／8)の部分については、面積に該当する２乗の次元を持った値がある必要があります。「(D／8)^(2/3)」については径深R=A/Sの計算結果が異なっています。
この解答は不適当です。冒頭の解説で示した式の「(D／4)^(2/3)」が「(D／8)^(2/3)」となってしまっています。径深R=A/Sの計算の際に潤辺を円周全体のπDとしたものと思われます。潤辺は管壁と水が接している長さであり、円周の半分である「πD/2」とする必要があります。
この問いでは「①断面積の次元がD2となっているか②径深の計算時で潤辺が下半分πD／2とされているか」を確認することで消去法で選ぶことができます。
ちなみに満管であった場合は流水断面積A=D/2×D/2×π=πD2/4となり、径深R=A/S=(πD2/4)/(πD)=D/4となります。
よってQ=Av=(πD2/4)×(1／n)×R^(2/3)×I^(1/2)=(πD2/4)×(1／n)×(D/4)^(2/3)×I^(1/2)=(1／n)×(πD²／4)×(D／4)^(2/3)×I^(1/2)となります。流量は「断面積が倍になった」ため倍となりますが、流速は変わりません。つまり満管でも半満流でも径深は同じD／4になり流速も同じになります。
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